来源:尤明庆科学网博客,作者:尤明庆。
阿基米德(公元前287年~前212年)提出力矩的概念,解决了平行力的平衡问题:若一个力与多个平行力平衡,则其等值反向的作用力就是那些力的合力。显然,各个分力关于合力作用点的力矩之和为零。
中学平面几何介绍三角形时说,若在顶点布置等重物体或相同作用力W,则B、C 两处作用力的合力在中点D。三力的合力作用点一定在中线AD 上,当然也在另两条中线上。三条中线必然交于一点,即三角形的重心M,其分中线为2:1。该点也是均质等厚三角板的质心。
顺便说一句,若在四面体的顶点布置等重物体而求其重心,则容易理解四面体的对边之中点连线交于一点,且该点为3条连线之中点。
如果在三个顶点布置物体的重量与对边的长度成比例,则B、C 两处作用力的合力作用点E 满足BE/EC=WC/WB=AB/AC。于是AE 为∠A 的平分线,且三力的合力作用点一定在AE 上。当然也在另两条角平分线上,三条角平分线必然交于一点,即三角形的内心I:内接圆的圆心。又,若将A 点处作用力反向,则三力的合力作用点在AE 的延长线上、以及∠B 和∠C 的外角平分线上,三线必然交于一点即三角形的旁心。
在三个顶点布置物体的重量与角度的正切值成比例,则B、C 两处作用力的合力作用点F 满足BF/FC=WC/WB=tanC/tanB。于是,AF 为BC 边的高,且三力的合力作用点一定在AF 上,当然也会在另两条高线上。三个高必然交于一点即垂心H。
因tanC=–tan(A+B ),有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC ,可以选取图中系数w 而使三点作用力之和为单位1。
如果在三个顶点布置物体的重量具有图示数值,三角形处于水平状态,若外接圆半径为R,则B、C 两处作用力以及A 处作用力关于中垂线DD' 的力矩分别为
显然,三处作用力关于中垂线DD' 的力矩为零,因而合力作用点一定在DD '上,当然也在另两条中垂线上。三者必然交于一点,即三角形的外心O。
上面两节的对应点作用力之和正好为1,如A 点
如前所述,垂心H 处作用的合力为1,而重心M 处的总合力为3。于是,外心O 处作用的合力为2。这就证明了“三角形的重心在外心与垂线的连线上,且分其为2:1。这一结果是欧拉1765年发现的。
几何证明是容易的。延长BO 至Q,使OQ=BO,即Q 在外接圆上。容易知道AHCQ 为平行四边形,因而CH//=QA//=2OE。于是,中线CE 与OH 的交点M 分两线均为2:1,点M当然是重心。
取HC 的中点P,连接EP 交OH 于N,因HP//=EO 知道N 为EP 及OH 的中点,G 为垂足,因而在EP 为直径的圆上。再注意到EO//=PC,因而EP//=OC 即该圆直径等于外接圆的半径。于是,三边的中点、垂足以及垂心与顶点连线之中点都在这个“九点圆”上。据此也就知道垂心H 将高所分两段之乘积相等,事物内部的联系真是复杂呢。
作者注:我不知道此前是否有人利用合力作用点证明外心-重心-垂心共线,欧拉线以及九点圆读高中时就知道,不过,此次写作时没有查阅任何书籍,只是在拙稿完成之后看了一下https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 以确认年代。
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